新题型之数学运算――因式分解
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式,它是中学数学中最重要的恒等变形之一,因式分解方法灵活,技巧性强,是我们解决许多数学问题的有力工具。其方法包括提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以及拆项和添项法、待定系数法、双十字相乘法、轮换对称法等。
【例题1】分解7x2一l9x一6
解析:此题用十字相乘法。
对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
1 -3
7 2
2-21=-19
则7x2一l9x一6=(7x+2)(x一3)
这是较为简单的试题,在公务员考试中不可能会出现,但其指导思想是需要掌握的,因为类似的变形试题在考试中会时常出现。
【例题2】分解x2+3x一40
解析:此题用配方法。
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)
这种方法相对而言比上面的简明快捷,但需要仔细从题目中观察规律,找出配方的“点”,如此便豁然开朗。
【例题3】分解x4-x3-5x2-6x-4
解析:此题用待定系数法。
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
已知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
所以解得a=1,b=1,c=-2,d=-4
则x4-x3-5x2-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
这种方法的特点就是化繁为简。
以下是应掌握的几种相关公式:
1.a2-b2=(a-b)(a+b)
2.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
3.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
4.a2+2ab+b2=(a+b)2
5.a2-2ab+b2=(a-b)2
6.a3±
7.a2+b2+c2+2ab+2bc+
8.a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
9.an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…-bn-1);n为正整数
10.an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+bn-1);n为正偶数
11.an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…bn-1);n为正奇数